Złota liczba

Jak wyrazić piękno i harmonię za pomocą liczby? Odpowiedzią jest liczba niewymierna
nazwana przez włoskiego mnicha złotą liczbą i oznaczana najczęściej symbolem litery greckiej („phi”). Złota liczba ma wiele możliwości, co oznacza, że może wyrażać wiele zjawisk i tłumaczy fascynację jaką budzi. Wartość złotej liczby w przybliżeniu wynosi 1,618. Poniżej zaprezentowano więcej cyfr jej dziesiętnego rozwinięcia

φ ≈1,61803 39887 49894 84820.

Złota liczba wiąże się ściśle z geometrią pięciokąta foremnego. Liczba φ jest równa np.stosunkowi długości przekątnej pięciokąta foremnego do długości jego boku. Poprzez to jest spokrewniona z dwunastościanem i dwudziestościanem foremnym.

Rysunek 1.
Pięciokąt z wpisanym
pentagramem.

Dodatkowo nieodłącznym symbolem złotej liczby i doskonałej harmonii zaklętej w geometrycznym kształcie staje się wpisany w pięciokąt pentagram, tak jak na Rys.1. Pentagram od wieków był znakiem tajemniczych stowarzyszeń, takich jakim był również związek pitagorejczyków. Znak ten spotykany jest w judaizmie, chrześcijaństwie i obecnie na flagach państw. Dlaczego pentagram jest tak ważny dla złotej liczby a ona dla niego? Główną zaletą pentagramu jest to, iż stosunek długości właściwie wszystkich jego odcinków jest taki sam, czyli

Taka sytuacja, że cała długość odcinka ma się do części dłuższej tego odcinka tak, jak część dłuższa do krótszej nazywa się złotym podziałem odcinka. Stosunek złotego podziału jest liczbą niewymierną. To ona wyrażała harmonię świata. A w szczególności konstrukcja złotego podziału odcinka. Złota proporcja, nazywana też boską proporcją, szczęśliwym wymiarem, klejnotem geometrii, stała się kanonem piękna w twórczości Fidiasza czy Prakstylesa. Takie rzeźby jak Apollo Belwederski czy Wenus z Milo (Rys.2) zostały zbudowane zgodnie z zasadą złotego podziału. Punktem złotego podziału całej postaci ludzkiej jest linia talii, części dolnej natomiast, linia pod kolanem, a części górnej linia karku.

Rysunek 2. Apollo Belwederski
Wenus z Milo

Złoty podział znalazł powszechne zastosowanie w dziełach malarskich i architekturze.
Jednym z najstarszych dzieł jest fasada Partenonu.

Rysunek 3.
Fasada Partenonu wpisana
i złote prostokąty

 

 

 

 

 

Rys. 3 ilustruje fasadę Partenonu i jej związek z konstrukcją prostokątów nazywanych złotymi. W takich „specjalnych” prostokątach stosunek długości boków dłuższego do krótszego jest złotą liczbą. Istnieje nawet domniemanie, iż wizytówki w kształcie takiego prostokąta mają większą moc oddziaływania na odbiorcę, powielając kanon doskonałości. Podobną sytuację można zaobserwować na Rys. 4 z Mona Lisą.

Rysunek 4.
Złote prostokąty
i Mona Lisa.

Jednak najstarszy przykład zastosowań architektonicznych złotej liczby napotkano przy badaniach proporcji długości odcinków w Wielkiej Piramidzie w Gizie, ale o tym napiszę w następnej części. Teraz poproszę o poczytanie odrobiny matematyki.

Złota liczba spełnia równanie

φ = 1 + (1 / φ)

przy czym przyjmujemy φ>0. Stąd

Liczba φ jest wyjątkowa, ma wiele własności, najprostsze z nich to:

  • Odwrotnością złotej liczby jest ona pomniejszona o jeden: 1 / φ = φ - 1
  • Kwadrat złotej liczby to ona powiększona o jeden: φ2 = φ + 1

Opracowała
Dorota Mozyrska